متلب
صفحات وبلاگ
نویسنده: پ متلب - چهارشنبه ۱٦ فروردین ،۱۳٩۱

عملیات محاسباتی

از نرم افزار متلب می توان به عنوان یک ماشین حساب استفاده کرد. مثال زیر را در نظر بگیرید.

کد:
>> 3^2 - (5 + 4)/2 + 6*3


اگر در سمت چپ عبارت بالا متغیری تعریف نکنیم , متلب آنرا در متغیری به نام ans قرار می دهد.

کد:
>> ans^2 + sqrt(ans)


همانطور که میبینید متلب مقدار جدیدی را به متغیر ans اختصاص داد.
می توانیم مقدار محاسبه شده را در متغیر خاصی قرار دهیم.

کد:
>> u = cos(10)


توابع مثلثاتی با رادیان کار می کنند.
و مثالی دیگر

کد:
>> v = sin(10)


از دو متغیر حاصله میتوان در محاسبات بعدی استفاده کرد.

کد:
>> u^2 + v^2


متلب به صورت پیش فرض با format short کار می کند. برای تغییر فرمت و افزایش دقت خروجی عبارت زیر را تایپ کنید.

کد:
>> format long


حالا با دستور زیر دقت برنامه را ببینید.

کد:
>> 1/3


برای بازگشت به فرمت قبلی دستور زیر را وارد کنید.

کد:
>> format short


مسائل جبری

برای اینکه بتوانیم با متغیر ها به صورت سمبلیک رفتار کنیم , باید ابتدا متغیر را سمبلیک کنیم.

کد:
>> syms x y
>> (x - y)*(x - y)^2

و نتیجه حاصله را بسط می دهیم.

کد:
>> expand(ans)


و دوباره آنرا فاکتور گیری می کنیم.

کد:
>> factor(ans)


متلب تابعی دارد که می توانید ساده ترین فرمول ممکن را بدست اورید.

کد:
>> simplify((x^3 - y^3)/(x - y))


متلب تابع دیگری دارد که یک عبارت ریاضی را به همه شکل های ممکن ساده می کند.

کد:
>> simple((x^3 - y^3)/(x - y))


عبارات پارامتری و محاسبات دقیق

در متلب عدد پی با pi نشان داده می شود. جواب عبارت زیر را ببینید.

کد:
>> cos(pi/2)


جواب باید صفر شود. ولی به دلیل دقیق نبودن عدد پی کمی با صفر فاصله دارد. تابع sym این عدد را به عددی سمبلیک و دقیقا برابر pi/2 تبدیل می کند.

کد:
>> cos(sym('pi/2'))


به این نکته دقت کنید که عبارت syms x معادل عبارت ('x=sym('x است. با این تفاوت که sym تاثیر موقت دارد ولی syms تاثیر دائم دارد.
به نحوه جمع کردن دو عدد 1/2 و 1/3 به صورت سمبلیک توجه کنید.

کد:
>> sym('1/2') + sym('1/3')


حالا ببینید چگونه می توان عدد رادیکال 2 را تا 50 رقم اعشار بدست آورد.

کد:
>> vpa('sqrt(2)', 50)


تابع vpa برای گرفتن دقت بیشتر بکار می رود. برای مثال نتیجه عبارتهای (vpa(3^45 و ('vpa('3^45 را با هم مقایسه کنید. در کاربرد های تجربی بین این دو مقدار فرقی وجود ندارد ولی بعضی مواقع به عدد دقیق نیاز است که باید عبارت دوم را بکار برد.

مدیریت متغیر ها

در متلب سه طبقه متفاوت داده وجود دارد. عدد و رشته و اعداد سمبلیک. با استفاده از دستور whos می توان خلاصه ای از اسامی و متغیر هایی که تا به حال تعریف شده مشاهده کنیم.

کد:
>> whos


تا حالا 5 متغیر تعریف کردیم. X و y به دلیل به کار بردن syms سمبلیک هستند. متغیر ans هم به دلیل این که جمع دو متغیر سمبلیک است سمبلیک شده است. متغیر های u و v هم اسکالر هستند. در قسمت سایز هم از سمت چپ به ترتیب تعداد سطر ها و ستون های ماتریس را نشان می دهد.
بنویسید u=pi و 'v='pi و ('w=sym('pi و سپس دستور whos را وارد کنید تا تفاوت این داده ها را ببینید.
برای مشاهده مقدار هر متغیر نام آن را در پنجره command window بنویسید و Enter بزنید.
شما باید تشخیص دهید که هر تابع به چه نوع ورودی ای نیاز دارد. وگرنه دادن ورودی نا مناسب به آن منجر به پیام eror می شود.
برای پاک کردن همه متغیر ها از حافظه دستور clear یا clear all را وارد کنید. شما همچنین می توانید بنویسید clear x y برای این که بتوانید فقط متغیر های x و y را پاک کنید. شما معمولا باید قبل از شروع محاسبات جدید متغیر های قبلی را پاک کنید.
توجه کنید که اطلاعات مشاهده شده از طریق دستور whos در پنجره workspace هم قابل مشاهده است.
می توانیم متغیر هایی که تا به حال در حافظه موقت ذخیره شده است را ذخیره کنیم. برای این کار در قسمت workspace روی گزینه save کلیک کنید و برای ذخیره آن آدرس دهید تا با فرمت mat. ذخیره شود. بعد از بسته شدن نرم افزار متلب , هر وقت خواستید دوباره آموزش را ادامه دهید , نرم افزار را باز کنید و در قسمت workspace به بخش import data بروید و فایل ذخیره شده را انتخاب و گزینه finish را بزنید.

خطا در ورودی

یکی از رایج ترین خطا ها در ورودی که منجر به دریافت پیام eror می شود , خطای ضرب است. به مثال زیر توجه کنید.

کد:
>> 3u^2


در نتیجه متلب eror می دهد. خطا به دلیل فقدان اپراتور ضرب * است.
یکی دیگر از خطا های معمول به پرانتز مربوط می شود که معمولا پرانتز باز می شود و بسته نمی شود.
عدم تشخیص نوع ورودی مورد نیاز هم یکی خطاهای رایج در متلب است. در ادامه توضیحات بیشتری ارائه می شود.

متغیر ها و نام گذاری آنها

به مثال زیر توجه کنید.

کد:
>> x = 7
>> syms y
>> z = x^2 - 2*x*y + y

همان طور که می بینید به x عدد دادیم و y را سمبلیک کردیم. برای محاسبه z , متلب به جای متغیر x مقدار 7 قرار می دهد.

کد:
>> clear x; syms x y
>> z = x^2 - 2*x*y + y

در اینجا متغیر قبلی x را حذف کردیم و دوباره x را سمبلیک کردیم.

کد:
>> 5*y*z

همان طور که دیدید به جای z مقدار حاصل از دستورات قبلی را قرار داد.

حل معادلات

می توانیم عبارات شامل متغیر ها را با استفاده از دستورات solve و fzero حل کنیم. به مثال زیر توجه کنید.

کد:
>> solve('x^2 - 2*x - 4 = 0')

این دستور ریشه های معادله درجه دوم مورد نظر را بدست می دهد. جواب به صورت سمبلیک است. برای مشاهده اسکالر باید دستور (double(ans یا برای رقم های بیشتر دستور (vpa(ans را وارد کنید.
دستور solve همچنین می تواند چند جمله ای های درجه بالاتر را هم حل کند. همچنین می تواند معادلاتی با بیش از یک متغیر را حل کند. اگر تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیر ها باشد باید مشخص کنیم کدام متغیر ها باید حل شوند. دستور زیر y را بر حسب متغیر x بدست می دهد.

کد:
>> solve('2*x - log(y) = 1', 'y')

می توانیم با استفاده از دستور solve بیش از یک معادله را حل کنیم.

کد:
>> [x, y] = solve('x^2 - y = 2', 'y - 2*x = 5')

این سیستم معادلات , دو جواب دارد. جواب اول x با جواب اول y همزمان رخ می دهند. جواب دوم هم به همین صورت.
می توانیم جواب اول x و y را با استفاده از دستورات زیر بگیریم.

کد:
>> x(1)
>> y(1)

در دستور بالا ابتدا ans به x اختصاص می یابد و سپس به y. جواب دوم می تواند با دستورات (x(2 و (y(2 بدست آید.
توجه کنید که اگر در سمت چپ دستور solve بردار تعریف نکنیم متلب نتیجه را نمایش تخواهد داد.
برای مثال

کد:
>> sol = solve('x^2 - y = 2', 'y - 2*x = 5')

در اینجا برای بدست آوردن بردار x تایپ کنید x=sol.x و همچنین برای y تایپ کنید y=sol.y . برای گرفتن مقادیر اول تایپ کنید (sol.x(1 .
در بعضی معادلات جواب نمی تواند سمبلیک باشد. به همین دلیل متلب جواب اسکالر می دهد.برای مثال

کد:
>> solve('sin(x)=2-x')

گاهی اوقات جواب بیشتر از یکی است و جواب دلخواهمان را نمی گیریم.برای مثال

کد:
>> solve('exp(-x) = sin(x)')

جواب ,یک عدد مختلط است. حرف i در انتهای عدد دوم نمایانگر رادیکال (1-) است. با وجودی که این یک جواب معتبر برای این معادله است , این معادله جواب های حقیقی هم دارد.
نمودار برخورد (sin(x و (exp(-x در شکل زیر نشان داده شده است. نحوه رسم این نمودار در ادامه توضیح داده می شود.

[تصویر: 1.JPG]

هر کدام از نقاط برخورد یکی از جواب های معادله است.
با تابع fzero می توان جواب های معادله را بصورت عددی بدست آورد. در واقع جواب معادله بالا , صفر های معادله (exp(-x)-sin(x است. دستور زیر این عبارت را بصورت تابعی بر حسب x تبدیل می کند.

کد:
>> inline('exp(-x) - sin(x)')

در مورد دستور inline به طور کامل توضیح داده خواهد شد. دستور fzero برای اجرا در اولین آرگومان به تابع نیاز دارد.
در دستور fzero در اولین آرگومان یک تابع وجود دارد و در دومین آرگومان عددی که نزدیک یکی از ریشه های معادله است. در نتیجه برای بدست آوردن ریشه های دقیق ابتدا باید مکان تقریبی ریشه ها را بدست آوریم. این کار را می توان از طریق ترسیم معادله انجام داد. در معادله بالا برای بدست آوردن جواب معادله در نزدیکی 0.5 دستور زیر را بنویسید.

کد:
>> fzero(inline('exp(-x) - sin(x)'), 0.5)

برای یافتن ریشه بعدی , باید جواب را در نزدیکی عدد 3 جست و جو کنید.


بردار ها

یک بردار دنباله ای از اعداد است. در متلب می توانیم برداری به طول دلخواه با نوشتن مجموعه ای از اعداد با فاصله در داخل براکت ایجاد کنیم. برای مثال

کد:
>> Z = [2,4,6,8]


و

کد:
>> Y = [4 -3 5 -2 8 1]


فرض کنید که می خواهید برداری از اعداد صحیح 1 تا 9 ایجاد کنیم. در زیر روش این کار بدون تایپ اعداد را نشان می دهد.

کد:
>> X = 1:9


در دستور بالا مقدار استپ 1 بود. حالا اگر بخواهیم به فرض استپ را 2 قرار دهیم باید یک آرگومان جدید به آن اضافه کنیم.

کد:
>> X = 0:2:10


نمو همچنین میتواند کسری و یا منفی باشد. برای مثال 0:0.1:2 و ( 0 : منفی 1 : 10 ) .
آرایه های بردار X میتواند به صورت (X(1 و (X(2 و ... از بردار استخراج شود. برای مثال

کد:
>> X(3)


برای تغییر بردار X از یک بردار سطری به یک بردار ستونی , بعد از X علامت پریم (') قرار دهید.

کد:
>> X'


می توانیم روی مولفه های بردار عملیات ریاضی انجام دهیم. برای مثال همه ی آرایه های بردار X را به توان 2 می رسانیم.

کد:
>> X.^2


نقطه بکار برده شده در دستور بالا خیلی اهمیت دارد. این دستور کاری می کند که اعداد بردار X درایه به درایه و جدا گانه مربع شوند. اگر تایپ می کردیم X^2 به متلب دستور می داد که از ضرب ماتریسی استفاده کند و بردار X را در خودش ضرب می کرد و در این مورد پیام eror می داد. (در ادامه در مورد ماتریس ها بطور کامل بحث می شود. )
به طریق مشابه برای ضرب و تقسیم درایه به درایه باید به ترتیب تایپ کنید *. و /. . فقط به یاد داشته باشید که طول بردار ها باید مساوی باشد. برای مثال برای ضرب کردن مولفه های بردار X با مولفه های نظیر از بردار Y تایپ کنید.

کد:
>> X.*Y


بیشتر دستورات در متلب به صورت مولفه به مولفه به ورودی اعمال می شوند. برای مثال در عملیات جمع و تفریق نقطه نمی گذاریم. مثلا می توانیم تایپ کنیم (exp(X تا نمایی همه اعداد بردار X را بدست آوریم.

ماتریس ها

ماتریس یک آرایه مستطیلی از اعداد است . بردار های سطری و ستونی که در بالا روی آنها بحث شد نمونه ای از ماتریس بودند.ماتریس 3×4 زیر را ملاحظه کنید.

[تصویر: 5.JPG]


این ماتریس می تواند در متلب با دستور زیر وارد شود.

کد:
>> A = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12]


توجه کنید که مولفه های هر سطر با کاما و سطر ها توسط سمی کالن از هم جدا شده اند.
اگر بین مولفه های هر سطر کاما نگذاریم هم فرقی نمی کند. ولی فاصله نباید فراموش شود.
اگر دو ماتریس A و B دارای سایز برابر باشند , جمع مولفه با مولفه آنها با نوشتن A+B بدست می آید. همچنین می توان یک عدد اسکالر را به تک تک مولفه های یک ماتریس اضافه کرد. به طریق مشابه A-B تفاضل دو ماتریس A و B را به دست می دهد. همچنین A-c یک عدد اسکالر را از همه مولفه های ماتریس A کم می کند.
اگر A قابلیت ضرب ماتریسی در B را داشته باشد ( یعنی اگر A ماتریسی n×m و B ماتریسی m×l باشد .) سپس حاصل ضرب ماتریسی A*B یک ماتریس n×l خواهد بود. یاد آوری می کنم که مولفه ماتریس A*B در i مین سطر و j مین ستون برابر است با مجموع حاصل ضرب مولفه های سطر i ام از A در ستون j ام از B . به عبارتی دیگر

[تصویر: 6.JPG]


ضرب عدد اسکالر c در بردار A به صورت c*A نوشته می شود و دستور 'A ماتریس ترانهاده مزدوج A را به دست می دهد.
ضرب ماتریس 3×4 A در بردار 'Z که 4×1 است می تواند مثال خوبی باشد.

کد:
>> A*Z'


که حاصل دستور بالا , یک ماتریس ستونی 3×1 است.
متلب دستورات دیگری نیز در این زمینه دارد که در فصل های بعدی به آن اشاره خواهد شد.

متوقف کردن خروجی

تایپ علامت سمی کالن ( ; ) در انتهای خط ورودی , مانع چاپ خروجی خواهد شد. زمانی که بخواهیم بردار یا ماتریس بزرگی تعریف کنیم از سمی کالن استفاده می کنیم. برای مثال بردار (x = -1:0.1:2) چاپ نشود بهتر است. همچنین در هر جایی که نیازی به چاپ شدن خروجی نباشد می توانیم از سمی کالن استفاده کنیم.

توابع

در متلب هم می توانید از توابع پیش فرض و هم از توابع ساخت خودتان استفاده کنید.

توابع پیش فرض
متلب تعداد زیادی تابع غیر قابل تغییر دارد. از جمله آنها توابع sqrt و sin و cos و tan و log و exp و atan (برای arctan) همچنین تعدادی تابع ریاضی خاص مثل gamma و erf و besselj. متلب همچنین تعداد زیادی ثابت پیش فرض دارد. از جمله pi (عدد پی) و i (رادیکال منفی یک) و inf (∞). در زیر چند مثال می زنیم

کد:
>> log(exp(3))


تابع log لگاریتم طبیعی می گیرد و در ریاضیات با نماد " ln " نشان داده می شود.

کد:
>> sin(2*pi/3)


در بالا برای گرفتن جواب دقیق باید از آرگومان سمبلیک استفاده کنید

کد:
>> sin(sym('2*pi/3'))


توابع تعریف شده توسط کاربر
در این بخش نشان می دهیم که چگونه می توان از تابع inline برای تعریف یک تابع استفاده کرد.
به نحوه تعریف تابع چند جمله ای (f(x توجه کنید

کد:
>> f = inline('x^2 + x + 1', 'x')


آرگومان دوم بکار برده شده در inline , متغیر مستقل را مشخص می کند. می توانیم این قسمت را حذف کنیم. متلب از طریق قوانین متغیر مستقل حدس می زند که چه باید باشد. در ادامه در این مورد بیشتر بحث خواهد شد.
وقتی که تابع را تعریف کردیم , میتوانیم به ازای ورودی های مختلف از آن خروجی بگیریم.

کد:
>> f(4)


تابع تعریف شده در بالا فقط می تواند به عدد اسکالر اعمال شود. برای این که بتواند برای بردار هم به کار رود از تابع vectorize متلب استفاده می کنیم.
تابع زیر تابع برداری شده معادله f است.

کد:
>> f1 = inline(vectorize('x^2 + x + 1'), 'x')


توجه کنید که ^ باید با ^. جایگزین می شد. حالا می توانیم به f1 ورودی بردار دهیم.

کد:
>> f1(1:5)


می توانیم f1 را از طریق بخش گرافیک متلب از راه های مختلف رسم کنیم. این بخش را با اشاره به این نکته که می توان تابعی با چند متغیر تعریف کرد به پایان می رسانیم.

کد:
>> g = inline('u^2 + v^2', 'u', 'v')


گرافیک

در این بخش دو دستور رسم مقدماتی متلب را تعریف می کنیم و نحوه استفاده از آنها را توضیح خواهیم داد.

رسم نمودار با استفاده از ezplot

ساده ترین راه رسم یک تابع تک متغیره استفاده از ezplot است. برای رسم معادله "x2+x+1" در بازه 2- تا 2 داریم

کد:
>> ezplot('x^2 + x + 1', [-2 2])


نمودار در پنجره جدیدی به نام " Figure 1" نشان داده می شود.
قابل ذکر است که ezplot هم آرگومان رشته ای (مانند بالا) و هم عبارت سمبلیک را قبول می کند.
نمودار گرفته شده در مثال قبل را از طریق دستور زیر نیز می توان مشاهده کرد.

کد:
>> syms x
>> ezplot(x^2 + x + 1, [-2 2])


[تصویر: 2.JPG]

نمودار ها می توانند گمراه کننده باشند اگر به محور ها توجه نکنیم.
برای مثال نمودار "x2+x+3" نیز دقیقا مانند نمودار بالا است با این تفاوت که اعداد روی محور فرق می کند.

تغییر دادن نمودار

به چند طریق می توانیم نمودار ها را تغییر دهیم. برای تغییر عنوان بالای نمودار قبلی در زیر دستورات قبلی تایپ کنید

کد:
>> title 'A Parabola'


و اجرا کنید. در نتیجه عبارت بالای نمودار تغییر می کند.
می توانیم روی محور افقی نمودار توسط اضافه کردن دستور xlabel به دستورات قبلی برچسب ایجاد کنیم. برای این کار باید جلوی xlabel اسم دل خواه خود را قرار دهیم. برای محور عمودی نیز از دستور ylabel استفاده کنید. به این نکته توجه کنید که عبارت مقابل title حتما باید با علامت آپوستروف بسته شود ولی برای گذاشتن برچسب محور ها نیازی نیست.
همچنین می توانیم محدوده محور ها را به دلخواه تنظیم کنیم. مثلا در مثال فوق می توانیم محدوده نمایش روی محور عمودی را از 1 تا 4 محدود کنیم.

کد:
>> axis([-2 2 1 4])


دو عدد اول محدوده محور افقی را مشخص می کنند. در دستور بالا محدوده هر دو محور باید مشخص شود.
در فصل پنجم توضیحات بیشتری در این زمینه داده می شود.

رسم نمودار با استفاده از plot
دستور plot به داده های برداری عددی اعمال می شود. ساده ترین ترکیب این تابع (plot(X,Y است که در آن X و Y بردار هایی با طول یکسان هستند. برای مثال

کد:
>> X = [1 2 3];
>> Y = [4 6 5];
>> plot(X, Y)

این دستور نقطه (1,4) را با یک خط به نقطه (2,6) وصل می کند و به همین صورت برای نقطه بعدی.

[تصویر: 3.JPG]

برای ترسیم نمودار "X2+X+1" در بازه -2 تا 2 ابتدا باید برداری از مقادیر X تعریف کنیم . تعداد نقاط تعریف شده باید به حدی باشد که نمودار شکسته شکسته نباشد. برای مثال زیر از استپ 0.1 استفاده می کنیم.

کد:
>> X = -2:0.1:2;
>> plot(X, X.^2 + X + 1)


[تصویر: 4.JPG]

توجه کنید که برای جلو گیری از چاپ شدن 41 مولفه بردار X از سمی کالن استفاده کردیم.
همچنین توجه کنید که دستور زیر همان نتیجه را خواهد داشت. زیرا قبلا تابع f1 را تعریف کرده ایم.

کد:
>> plot(X, f1(X))

در فصل پنجم دستورات گرافیکی بیشتری را توضیح خواهیم داد.

رسم منحنی های چندگانه

وقتی یک نمودار جدید را رسم می کنیم , متلب نمودار قدیمی را پاک می کند و به جای آن نمودار جدید را قرار می دهد. اگر بخواهیم دو یا تعداد بیشتری نمودار را روی هم رسم کنیم از دستور hold on استفاده می کنیم. این عبارت به متلب فرمان می دهد که نمودار قبلی را نگه دارد و نمودار های جدیدی که رسم می شود بر روی همان نمودار قدیمی رسم کند. این حالت تا وقتی که دستور hold off را وارد کنیم ادامه می یابد. در اینجا مثالی از به کار گیری تابع ezplot می آوریم.

کد:
>> ezplot('exp(-x)', [0 10])
>> hold on
>> ezplot('sin(x)', [0 10])
>> hold off
>> title 'exp(-x) and sin(x)'

نتیجه قبلا در همین بخش نمایش داده شده بود. دستورات hold on و hold off با همه دستورات گرافیکی دیگر نیز به کار می رود.
با دستور plot می توان مستقیما چند نمودار را روی هم رسم کرد.

کد:
>> X = 0:0.1:10;
>> plot(X, exp(-X), X, sin(X))

فقط با این تفاوت که رنگ نمودار ها را متفاوت انتخاب می کند.

http://www.iranled.com/

نویسندگان وبلاگ:
کدهای اضافی کاربر :